已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Snan(n∈N*)，其中a1=1，an≠0．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{bn}满足(2an-1)(2bn-1)=1，Tn为{bn}的前n项和，试比较T-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Snan(n∈N*)，其中a1=1，an≠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n为{b_n}的前n项和，试比较T_n与log2

(2an+1)

的大小，并说明理由．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
∴a2=

2S1

a1

=

2a1

a1

=2，
a3=

2S2

a2

=

2(a1+a2)

a2

=3．
（Ⅱ）由已知可知Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
于是数列{a_2m-1}是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，∴a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
数列{a_2m}是以a₂=2为首项，2为公差的等差数列，∴a_2m=2+2（m-1）=2m，
∴a_n=n（n∈N^*）．
（Ⅲ）可知Tn＞log2

(2an+1)

．下面给出证明：
要比较T_n与log2

(2an+1)

的大小，只需比较2T_n与log₂（2a_n+1）的大小．
由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．
从而 Tn=b1+b2+…+bn=log2(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)=log2(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)2?

1

2n+1

]．
设f(n)=(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

)2?

1

2n+1

，
则f(n+1)=(

2

1

?

4

3

?

6

5

?…?

2n

2n-1

?

2n+2

2n+1

)2?

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

?(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以对于任意 n∈N^*都有f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，
从而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2Tn＞log2(2an+1)，n∈N*．
即 Tn＞log2

(2an+1)

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=2Snan(n∈N*)，其中a1=1，an≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：