先阅读下面材料，再回答问题．一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b范围内，对于任意x1，x2，当a＜x1＜x2＜b时，总是有y1＜y2（yn是与xn对应的函数值），那么就说函数y在a＜x＜b范围内是-数学试题及答案

1、试题题目：先阅读下面材料，再回答问题．一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-10 07:30:00

试题原文

先阅读下面材料，再回答问题．
一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b范围内，对于任意x₁，x₂，当a＜x₁＜x₂＜b时，总是有y₁＜y₂（y_n是与x_n对应的函数值），那么就说函数y在a＜x＜b范围内是增函数．
例如：函数y=x²在正实数范围内是增函数．
证明：在正实数范围内任取x₁，x₂，若x₁＜x₂，
则y₁-y₂=x₁²-x₂²=（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）
因为x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂
所以x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，（ x₁-x₂）（ x₁+x₂）＜0
即y₁-y₂＜0，亦即y₁＜y₂，也就是当x₁＜x₂时，y₁＜y₂．
所以函数y=x²在正实数范围内是增函数．
问题：
（1）下列函数中．①y=-2x（x为全体实数）；②y=-

2

x

（x＞0）；③y=

1

x

（x＞0）；在给定自变量x的取值范围内，是增函数的有______．
（2）对于函数y=x²-2x+1，当自变量x______时，函数值y随x的增大而增大．
（3）说明函数y=-x²+4x，当x＜2时是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①y=-2x，
∵k=-2＜0，
∴x在全体实数范围内y随x的增大而减小；
②y=-

2

x

（x＞0），
∵k=-2＜0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大；
③y=

1

x

（x＞0），
∵k=1＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
综上所述，增函数只有②；

（2）二次函数y=x²-2x+1的对称轴为x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵二次函数开口向上，
∴自变量x＞1时，函数值y随x的增大而增大；

（3）证明：设x₁＜x₂＜2，
则y₁-y₂=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂），
=-x₁²+x₂²+4x₁-4x₂，
=-（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（x₁-x₂），
=（x₁-x₂）（4-x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜2，
∴-x₁＞-x₂＞-2，x₁-x₂＜0，
∴4-x₁-x₂＞0，
∴（x₁-x₂）（4-x₁-x₂）＜0，
即y₁-y₂＜0，
亦即y₁＜y₂，
也就是当x₁＜x₂＜2时，y₁＜y₂，
所以函数y=x²在正实数范围内是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“先阅读下面材料，再回答问题．一般地，如果函数y的自变量x在a＜x＜b..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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