如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12．（I）求P的值；（II-数学试题及答案

1、试题题目：如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），点M（x0，y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

如图，抛物线C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），点M（x₀，y₀）在抛物线C₂上，过M作C₁的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x₀=1-

2

时，切线MA的斜率为-

1

2

．
（I）求P的值；
（II）当M在C₂上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为抛物线C₁：x²=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=

x

2

，且切线MA的斜率为-

1

2

，所以A点的坐标为（-1，

1

4

），故切线MA的方程为y=-

1

2

（x+1）+

1

4

因为点M（1-

2

，y₀）在切线MA及抛物线C₂上，于是
y₀=-

1

2

（2-

2

）+

1

4

=-

3-2

2

4

①
y₀=-

(1-

2

)2

2p

=-

3-2

2

2p

②
由①②解得p=2
（II）设N（x，y），A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），x₁≠x₂，由N为线段AB中点知x=

x1+x2

2

③，y=

y1+y2

2

=

x12+x22

8

④
切线MA，MB的方程为y=

x1

2

（x-x₁）+

x12

4

，⑤；y=

x2

2

（x-x₂）+

x22

4

⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M（x₀，y₀）的坐标满足x₀=

x1+x2

2

，y₀=

x1x2

4

因为点M（x₀，y₀）在C₂上，即x₀²=-4y₀，所以x₁x₂=-

x12+x22

6

⑦
由③④⑦得x²=

4

3

y，x≠0
当x₁=x₂时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x²=

4

3

y
因此中点N的轨迹方程为x²=

4

3

y

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p＞0），点M（x0，y..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：