已知函数f(x)=|1x-1|（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（2）若集合A={y|y=f（x），12≤x≤2}，B=[0，1]，试判断A与B的关系；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得集合{y|-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=|1x-1|（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-25 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=|

1

x

-1|
（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（2）若集合A={y|y=f（x），

1

2

≤x≤2}，B=[0，1]，试判断A与B的关系；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合间的基本关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
设x₁，x₂为[1，+∞）上任意两个实数，且1≤x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
（2）当

1

2

≤x≤2时

1

2

≤

1

x

≤2，-

1

2

≤

1

x

-1≤1，0≤|

1

x

-1|≤1
∴A=[0，1]=B
（3）由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1?[a，b]．
①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴

1-

1

a

=ma

1-

1

b

=mb

，即a，b为方程1-

1

x

=mx的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的负根.

m＞0

1

2m

＜0

，此不等式组无解．
②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴

1-

1

a

=ma

1-

1

b

=mb

，即a，b为方程1-

1

x

=mx的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的大于1的根.

m＞0

1

2m

＞1?m＜

1

2

△=1-4m＞0?m＜

1

4

，解得0＜m＜

1

4

．
③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴

1

a

-1=mb

1

b

-1=ma

，两式作差得a=b，无意义．
综上，非零实数m的取值范围为(0，

1

4

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=|1x-1|（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合间的基本关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合间的基本关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：