设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-1．（1）求数列{an}的通项公式．（2）设bn=2n(an+1)(an+1+1)，Tn=b1+b2+…+bn，求证：13≤Tn＜1-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-1．（1）求数列{an}的通..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．（2）设bn=

2n

(an+1)(an+1+1)

，Tn=b1+b2+…+b_n，求证：

1

3

≤Tn＜1

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+1-S_n-1=0①∴n≥2时，a_n-S_n-1-1=0②
①-②得：（(an+1-an)-(Sn-Sn-1)=0?(an+1-an)-an=0?

an+1

an

=2(n≥2)
由a_n+1-2S_n-1=0及a₁=1得a₂-S₁-1=0?a₂=S₁+1=a₁+1=2∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1

（2）∵bk=

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=

2k

(2k-1+1)(2k+1)

=2(

1

2k-1+1

-

1

2k+1

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

2

(a1+1)(a2+1)

+

22

(a2+1)(a3+1)

+

23

(a3+1)(a4+1)

++

2n

(an+1)(an+1+1)

=2[(

1

20+1

-

1

2+1

)+(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

22+1

)++(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]=2(

1

2

-

1

2n+1

)
∵0＜

1

2n+1

≤

1

3

，∴

1

3

≤2(

1

2

-

1

2n+1

)＜1，
所以

1

3

≤Tn＜1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=an+1-1．（1）求数列{an}的通..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：