设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1=2，a2=1，a3=q-3p．（1）求p，q的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）是否存在正整数m，n，使Sn-mSn+1-m＜2-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），如..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（p，q为常数，n∈N^*），如果：a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

试题来源：江苏一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，知

S2=pa1+q

S2=pS2+q

即

3=2p+q

3+q-3p=3p+q

，解之得

p=

1

2

q=2

…（4分）
（2）由（1）知，S_n+1=

1

2

S_n+2，①
当n≥2时，S_n=

1

2

S_n-1+2，②
①-②得，a_n+1=

1

2

a_n（n≥2），…（6分）
又a₂=

1

2

a₁，所以数列{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列，
所以a_n=

1

2n-2

．…（8分）
（3）由（2）得，Sn=

2(1-

1

2n

)

1-

1

2

=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

，得

4(1-

1

2n

)-m

4(1-

1

2n+1

)-m

＜

2m

2m+1

，即

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

2m

2m+1

，…（10分）
即

2

2n(4-m)-2

＞

1

2m+1

，
因为2^m+1＞0，所以2ⁿ（4-m）＞2，
所以m＜4，且2＜2ⁿ（4-m）＜2^m+1+4，①
因为m∈N^*，所以m=1或2或3．…（12分）
当m=1时，由①得，2＜2ⁿ×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由①得，2＜2ⁿ×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由①得，2＜2ⁿ＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），如..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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