设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且MP0=32pp0．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0）与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．（1）若直线OA，-数学试题及答案

1、试题题目：设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

设点P是圆x²+y²=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P_o，且

MP0

=

3

2

pp0

．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0）与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．
（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点（Q点除外），并求出该定点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由题意知P₀（x₀，0）．
由

MP0

=(x0-x，-y)，

PP0

=（0，-y₀），且

MP0

=

3

2

PP0

，得（x₀-x，-y）=

3

2

（0，-y₀）．
所以

x0-x=0

-y=-

3

2

y0

，于是

x0=x

y0=

2

3

y

，
又x02+y02=4，所以x2+

4

3

y2=4．
所以，点M的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m

x2

4

+

y2

3

=1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0．
所以，△=（8mk）²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0．①，且

x1+x2=-

8mk

3+4k2

x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

，
（1）依题意，kAB2=kOA?kOB，即k2=

y1y2

x1x2

，所以k2=

kx1+m

x1

?

kx2+m

x2

．
所以x1x2k2=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以km（x₁+x₂）+m²=0，即km（-

8mk

3+4k2

）+m²=0．
因为m≠0，所以k（-

8k

3+4k2

）+1=0，解得k2=

3

4

．
将得k2=

3

4

代入①，得m²＜6．
所以，m的取值范围是（-

6

，0）∪（0，

6

）．
（2）曲线

x2

4

+

y2

3

=1与x轴正半轴的交点为Q（2，0）．
依题意，

AQ

⊥

BQ

，即

AQ

?

BQ

=0．
于是（2-x₁，-y₁）?（2-x₂，-y₂）=0．
∴x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）?

4(m2-3)

3+4k2

+（km-2）?（-

8mk

3+4k2

）+4+m²=0，
化简，得7m²+16mk+4k²=0．
解得，m=-2k或m=-

2k

7

，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0）（舍去）；
当m=-

2k

7

时，直线l的方程为y=k（x-

2

7

），直线过定点（

2

7

，0）．
所以，直线过定点（

2

7

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：