已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B；O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是（a-2）（b-2）=2；（2）求△AOB面-数学试题及答案

1、试题题目：已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于两点A、B；O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求证：曲线C与直线l相切的条件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求△AOB面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
曲线C的方程可化为（x-1）²+（y-1）²=1，
所以曲线C为圆．
圆心到直线l的距离d=

|b+a-ab|

a2+b2

，
当d=1时，直线与圆相切，
即

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，
所以曲线C与直线l相切的条件是：（a-2）（b-2）=2．
（2）由（1）得到（a-2）（b-2）=2且a＞2，b＞2，
则ab=2（a+b）-2≥4

ab

-2，当且仅当a=b时等号成立，
所以当a=b时，ab最小即三角形的面积最小，则三角形AOB为等腰直角三角形
则AB=2（

2

+1），所以a=b=

2 (

2

+1)

2

=

2

+2，三角形的面积S=

1

2

(

2

+2)2=3+2

2

所以△AOB的面积的最小值为：3+2

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l与x轴、y轴的正半轴交于..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：