已知函数f（x）=x3-（1+b）x2+bx，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，求b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在区间[0，3]上的最值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-（1+b）x2+bx，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-（1+b）x²+bx，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在区间[0，3]上的最值．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3x²-2（1+b）x+b，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y-3=0平行，
∴f′（1）=3-2（1+b）+b=-1，解得b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-3x²+2x，f′（x）=3x²-6x+2，
令f′（x）=3x²-6x+2=0，解得x1=1-

3

，x2=1+

3

．
在区间[0，3]上，x，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x

0

（0，x₁）

x₁

（x₁，x₂）

x₂

（x₂，3）

3

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

0

递增

2

3

9

递减

-

2

3

9

递增

6

所以当x=3时，f（x）_max=6；当x=1+

3

时，f（x）_min=-

2

3

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-（1+b）x2+bx，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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