设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设定函数f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由得f′（x）=ax²+2bx+c
因为f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以

a+2b+c-9=0

16a+8b+c-36=0

（*）
（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得

2b+c-6=0

8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0
故f（x）=x³-3x²+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）²-4ac=9（a-1）（a-9）
解

a＞0

△=9(a-1)(a-9)≤0

得a∈[1，9]
即a的取值范围[1，9]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a＞0)，且方程f′（x）-9..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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