发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-13 07:30:00
试题原文 |
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(1)①f'(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex ∵f(x)有3个极值点, ∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a,b,c. 令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减. ∵g(x)有3个零点∴
②∵a,b,c是f(x)的三个极值点, ∴x3-3x2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc ∴
∴b=1或-
∴
(2)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x. 转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m], 不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立. 即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立. 即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立. 设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ'(x)=-e-x-2x+6. 设r(x)=φ'(x)=-e-x-2x+6,则r'(x)=e-x-2,因为1≤x≤m,有r'(x)<0. 故r(x)在区间[1,m]上是减函数. 又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0 故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ'(x0)=0. 当1≤x<x0时,有φ'(x)>0,当x>x0时,有φ'(x)<0. 从而y=φ(x)在区间[1,x0]上递增,在区间[x0,+∞)上递减. 又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0,φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0. 所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0; 当x≥6时,恒有φ(x)<0; 故使命题成立的正整数m的最大值为5. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R.(1)若函数y=f(x)依次在x=a,..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。