函数f（x）=xax+b（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．（1）求a、b的值；（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？（3）-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=xax+b（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

函数f（x）=

x

ax+b

（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？
（3）在直角坐标系中，求定点A（-3，1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值．

试题来源：金山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

x

ax+b

=x的解，
所以

1

ax+b

=1无解或有解为0，（3分）
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
若有解为0，则b=1，所以a=

1

2

．（6分）
（2）f（x）=

2x

x+2

，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，则f（0）+f（m-0）=4，即

2m

m+2

=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4时，f（x）+f（-4-x）=

2x

x+2

+

2(-4-x)

-4-x+2

=…=4成立（充分性）（10分）
所以存在常数m=-4，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（

x-2

x+2

）²，设x+2=t，t≠0，（13分）
则|AP|²=（t+1）²+（

t-4

t

）²=t²+2t+2-

8

t

+

16

t2

=（t²+

16

t2

）+2（t-

4

t

）+2=（t-

4

t

）²+2（t-

4

t

）+10
=（ t-

4

t

+1）²+9，（16分）
所以当t-

4

t

+1=0时即t=

-1±

17

2

，也就是x=

-5±

17

2

时，
|AP|_min=3 （18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=xax+b（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：