已知函数f（x）=ax-24-ax-1（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax-24-ax-1（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax-2

4-ax

-1（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[log_a4，+∞）．
令t=

4-ax

，则0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，∴函数f（x）的值域是（-5，3]．
（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[-1，+∞）是定义域的子集．
由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且log_a4≤-1，即

1

4

≤a＜1．
令t=

4-ax

，由（1）知，f（x）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
由f（x）≤0，解得t≤-3（舍）或t≥1，即有

4-ax

≥1解得a^x≤3，
由题意知对任意x∈[-1，+∞），有a^x≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[-1，+∞），都有a^x≤a^-1．所以有a^-1≤3，解得a≥

1

3

，即

1

3

≤a＜1．∴存在a∈[

1

3

，1)，对任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax-24-ax-1（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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