已知函数f（x）满足f(x+a)=-1x-1(a∈R)．（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内所有x都成立；（Ⅱ）若f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足f(x+a)=-1x-1(a∈R)．（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足f(x+a)=-

1

x

-1(a∈R)．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a-x）=-2对定义域内所有x都成立；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为[a+

1

2

，a+1]时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）的定义域为（-∞，a）∪（a，+∞），设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，当a≥

1

2

时，求g（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x+a）=-

1

x

-1=-

1

(x+a)-a

-1
∴f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）
∴f（x）+f（2a-x）=

x+1-a

a-x

+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+

a-x+1

x-a

=

x+1-a-a+x-1

a-x

=

2(x-a)

a-x

=-2．
（Ⅱ）当a+

1

2

≤x≤a+1时，
-1≤a-x≤-

1

2

，即-2≤

1

a-x

≤-1，亦即-3≤-1+

1

a-x

≤-2，
∴-3≤

x+1-a

a-x

≤-2，
故f（x）的值域为[-3，-2]．
（Ⅲ）g（x）=x²+|x+1-a|=

(x+

1

2

)2+

3

4

-a

，(x≥a-1)

(x-

1

2

)2+a-

5

4

，(x＜a-1)

，（x≠a）．
①当x≥a-1且x≠a时，g（x）=x²+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a，
∵a≥

1

2

，∴a-1≥-

1

2

，即a≥

1

2

时，
在函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，
g_min（x）=g（a-1）=（a-1）²；．
②当x≤a-1时，g（x）=x²-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1≤

1

2

，即a≤

3

2

时，g（x）在（-∞，a-1]上为减函数，
g_min（x）=g（a-1）=（a-1）²．
如果a-1＞

1

2

，即a＞

3

2

时，g_min（x）=g(

1

2

)=a-

5

4

；
因为当a＞

3

2

时，(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0，
即（a-1）²＞a-

5

4

．
综上所述，当

1

2

≤a≤

3

2

时，g（x）的最小值是（a-1）²；
当a＞

3

2

时，g（x）的最小值是a-

5

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足f(x+a)=-1x-1(a∈R)．（Ⅰ）若f（x）的定义域为（-∞，a）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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