已知函数f(x)=1+ax2x+b（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1+ax2x+b（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1+ax2

x+b

（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f(x)=

1+ax2

x+b

是奇函数，则f（-x）=-f（x）
∴

1+a(-x)2

-x+b

=-

1+ax2

x+b

，
∵a≠0，∴-x+b=-x-b，∴b=0（3分）
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，∴

1+a

1+b

=3，∵b=0，
∴a=2（6分）

（2）由（1）知f(x)=

1+2x2

x

=2x+

1

x

(x≠0)（7分）
当x＞0时，2x+

1

x

≥2

2x?

1

x

=2

2

，当且仅当2x=

1

x

，
即x=

2

时取等号（10分）
当x＜0时，(-2x)+

1

-x

≥2

(-2x)?

1

-x

=2

2

，∴2x+

1

x

≤-2

2

当且仅当(-2x)=

1

-x

，即x=-

2

时取等号（13分）
综上可知函数f（x）的值域为(-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞)（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1+ax2x+b（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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