已知f（x）=ax2+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，方程f（x）=x有两个相等实根．（1）求f（x）；（2）是否存在实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax2+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）；
（2）是否存在实数m，n，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？为什么？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的对称轴为x=1，
可得-

b

2a

=1即b=-2a．（*）
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax²+bx=x，即方程ax²+（b-1）x=0有两相等实数根，
∴（b-1）²-4×a×0=0，解之得b=1，代入（*）得a=-

1

2

，
∴函数的解析式为f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）由（1）得f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
若函数f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]，可得3n≤

1

2

，所以m＜n≤

1

6

，
又∵函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
∴f（x）在区间[m，n]上单调递增，有f（m）=3m且f（n）=3n，
解之得m=0或m=-4，n=0或n=-4，
又∵m＜n，∴m=-4，n=0．
即存在实数m=-4、n=0，使得函数f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[3m，3n]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax2+bx+c，f（0）=0，对任意实数x恒有f（1-x）=f（1+x）成立，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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