已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：1n23+1n34+1n45+…1nnn+1＜n(n-1)4(n∈N*且n＞1）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：

1n2

3

+

1n3

4

+

1n4

5

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N*且n＞1）

试题来源：滨州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，f′(x)=

1

x-1

-k，
∵x＞1，∴当k≤1时，f′(x)=

1

x-1

-k＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当k＞0时，f（x）在（1，1+

1

k

）上是增函数，在（1+

1

k

，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴?x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，
∴?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）_max=f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0，
解得k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．
（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．
取x=n²，则2lnn≤n²-1，
即

lnn

n+1

≤

n-1

2

，n≥2，
∴

1n2

3

+

1n3

4

+

1n4

5

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

4

(n∈N*且n＞1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：