已知函数f（x）=lnx，g（x）=32-ax（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[12，1]上有解，求实数a的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g（x）=32-ax（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

（x为实常数）．
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

-

1

x

∴φ′（x）=

1

x

+

1

x2

∵x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增
∴x=4时，φ（x）_min=2ln2-

7

4

；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化为x²=

3

2

-

a

x

，∴a=

3

2

x-x³，
设y=

3

2

x-x³，则y′=

3

2

-3x²，
∵x∈[

1

2

，1]
∴函数在[

1

2

，

2

]上单调递增，在[

2

，1]上单调递减
∵x=

1

2

时，y=

5

8

；x=

2

时，y=

2

；x=1时，y=

1

2

，
∴y∈[

1

2

，

2

]
∴a∈[

1

2

，

2

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g（x）=32-ax（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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