设二次函数y=f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在y=f（x）的图象上，则点（x，y2+1）在函数g（x）=f[f（x）]的图象上．（1）求g（x）的解析式；（2）设F（x）=g（x-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数y=f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设二次函数 y=f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x），问是否存在这样的l（λ∈R），使f（x）在(-∞，-

2

)内是减函数，在（-

2

，0）内是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x²+c，
∵点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，
∴y²+1=（x+c）²+c，即（x²+c）²+1=（x+c）²+c，
c=1，
∴f（x）=x²+1；g（x）=（x²+1）²+1；
（2）假设存在λ，使得F（x）在（-∞，-

2

)内是减函数，在（-

2

，0）内是增函数，
而-

2

是函数的一个极小值点，F（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1），
F′（x）=4x（x²+1）-2λx，∴F（-

2

）=0，解得λ=3，
经检验知λ=3复合题意，
故λ=3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数y=f（x）=ax2+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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