已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，g(n)=2(n+1-1)(n∈N*)．（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，g(n)=2(n+1-1)(n∈N*)．（1）当n=1，2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-06 07:30:00

试题原文

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，g(n)=2(

n+1

-1)(n∈N*)．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，f（1）=1，g(1)=2(

2

-1)，f（1）＞g（1），
当n=2时，f(2)=1+

1

2

，g(2)=2(

3

-1)，f（2）＞g（2），
当n=3时，f(3)=1+

1

2

+

1

3

，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N^*），即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)．
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

++

1

k

＞2(

k+1

-1)
则当n=k+1时，f(k+1)=1+

1

2

+

1

3

++

1

k

+

1

k+1

＞2(

k+1

-1)+

1

k+1

=2

k+1

+

1

k+1

-2；
而g(k+1)=2(

k+2

-1)=2

k+2

-2，下面转化为证明：2

k+1

+

1

k+1

＞2

k+2

只要证：2(k+1)+1=2k+3＞2

(k+2)(k+1)

，需证：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即证：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．
综上可知：对n∈N^*，猜想都成立，
即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，g(n)=2(n+1-1)(n∈N*)．（1）当n=1，2..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：