已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=x2tan2α+x?sin(2α+π4)，数列{an}的首项a1=12，an+1=f(an)．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：an+1＞an；（3）求证：1＜11+a1+11+a2+…+11+an＜2(n-数学试题及答案

1、试题题目：已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=x2tan2α+x?sin(2α+π4)，数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-06 07:30:00

试题原文

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f(x)=x2tan2α+x?sin(2α+

π

4

)，数列{a_n}的首项a1=

1

2

， an+1=f(an)．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求证：a_n+1＞a_n；
（3）求证：1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2 (n≥2 ， n∈N*)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：不等式的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2(

2

-1)

1-(

2

-1)2

=1，
又∵α为锐角，所以2α=

π

4

，
∴sin(2α+

π

4

)=1，
则f（x）=x²+x；
（2）∵a_n+1=f（a_n）=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（3）∵

1

an+1

=

1

a

2n

+an

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，且a₁=

1

2

，
∴

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，
则

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

，
∵a2=(

1

2

)2+

1

2

=

3

4

，a3=(

3

4

)2+

3

4

＞1，
又n≥2时，∴a_n+1＞a_n，
∴a_n+1≥a₃＞1，
∴1＜2-

1

an+1

＜2，
∴1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=x2tan2α+x?sin(2α+π4)，数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中不等式的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中不等式的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：