已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；（3）若方程g（-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-03 07:30:00

试题原文

已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=

bx-1

a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x₁，x₂f（x）=0的两根为x₃，x₄，求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：一元一次方程及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=f（x），即b=0，
所以g(x)=

bx-1

a2x+2b

=

-1

a2x

，定义域为{x|x≠0}，
所以g（-x）=-g（x），
所以函数g（x）是奇函数．
（2）由方程g（x）=x整理可得a²x²+bx+1=0，
因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，
所以△=b²-4a²＞0，即|

b

2a

|＞1，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，
又因为函数f（x）=ax²+bx+1的对称轴为x=-

b

2a

，并且a＞0，
所以当-

b

2a

＜ -1时，f（x）在（-1，1）上是增函数；当-

b

2a

＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）由

g(x)=x

f(x)=0

可得

a2x2+bx+1=0

ax2+bx+1=0

，
设α为x₁与x₂中的一个数，
则有

a2α2+bα+1=0

(α-x3)(α-x4)＜0

，
因为x₃+x₄=-

b

a

，x₃x₄=

1

a

所以有

a2α2+bα+1=0

α2+

b

a

α+

1

a

＜0

．
当a＞0时有

a2α2+bα+1=0

aα2+bα+1＜0

，
所以结合两式可得（a-a²）α²＜0，
解得：a＞1或a＜0（舍去）．
当a＜0时有

a2α2+bα+1=0

aα2+bα+1＞0

，
所以所以结合两式可得（a-a²）α²＞0，
解得：0＜a＜1（舍去）．
综上可得a的取值范围为（1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=bx-1a2x+2b（1）f（x）为偶函数，试..”的主要目的是检查您对于考点“高中一元一次方程及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一元一次方程及其应用”。

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