设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n?2n-1．其中Sn为数列{an}的前n项和．（1）当b=2时，求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）当b≠2时，求数列{an}的前n项-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N^*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n?2n-1．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：闸北区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意知a₁=2，且ban-2n=(b-1)Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1
两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1
即an+1=ban+2n①
（1）当b=2时，由①知an+1=2an+2n
于是an+1-(n+1)?2n=2an+2n-(n+1)?2n=2(an-n?2n-1)
又a1-1?2n-1=1≠0，所以{an-n?2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
故知，bn=2n-1，
再由bn=an-n?2n-1，得an=(n+1)2n-1．
（2）当b≠2时，由①得an+1-

1

2-b

?2n+1=ban+2n-

1

2-b

?2n+1=b(an-

1

2-b

?2n)
若b=0，Sn=2n
若b=1，an=2n，Sn=2n+1-2
若b≠0、1，数列{an-

1

2-b

?2n}是以

2(1-b)

2-b

为首项，以b为公比的等比数列，
故an-

1

2-b

?2n=

2(1-b)

2-b

?bn-1，an=

1

2-b

[2n+(2-2b)bn-1]Sn=

1

2-b

(2+22+23+…+2n)+

2(1-b)

2-b

(1+b1+b2+…+bn-1)，
Sn=

2(2n-bn)

2-b

b=1时，Sn=2n+1-2符合上式
所以，当b≠0时，Sn=

2(2n-bn)

2-b

当b=0时，Sn=2n
另
当n=1时，S₁=a₁=2
当n≥2时，∵ban-2n=(b-1)Sn∴b(Sn-Sn-1)-2n=(b-1)Sn
∴Sn=bSn-1+2n
若b=0，Sn=2n
若b≠0，两边同除以2ⁿ得

Sn

2n

=

b

2

?

Sn-1

2n-1

+1
令

Sn

2n

+m=

b

2

?

Sn-1

2n-1

+1+m，即

Sn

2n

+m=

b

2

?(

Sn-1

2n-1

+

2+2m

b

)
由m=

2+2m

b

得m=

2

b-2

∴{

Sn

2n

+

2

b-2

}是以

b

b-2

为首项，

b

2

为公比的等比数列
∴

Sn

2n

+

2

b-2

=

b

b-2

?(

b

2

)n-1，
所以，当b≠0时，Sn=

2(2n-bn)

2-b

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}与{bn}满足：对任意n∈N*，都有ban-2n=(b-1)Sn，bn=an-n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：