已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设bn=log2（an+1），（1）求证数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；（3）设cn=2bnan?an+1，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1），
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）设cn=

2bn

an?an+1

，①求数列{c_n}的最大值．②求

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1．                   （1分）
∵S_n=2a_n-n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．    （3分）
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），（5分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．   （6分）
（2）由（1）得a_n+1=2?2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．   （8分）
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N^*．               （10分）
（3）cn=

2n

anan+1

，cn+1=

2n+1

an+1an+2

①

cn+1-cn=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

-

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

-2×4n-2n

(2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1)

＜0

∴数列{c_n}单调递减．（12分）
∴①n=1时数列{c_n}的最大值为c1=

2

3

．（14分）
②由cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，（16分）
所以c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2n+1-1

．∴

lim

n→∞

(c₁+c₂+…+c_n）=1．（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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