设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2，a3；（2）求Sn的表达式．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求S_n的表达式．

试题来源：贵溪市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，由已知得a12-2a1-a12+1=0
∴a₁=

1

2

同理，可解得 a₂=

1

6

，a₃=

1

12

（5分）
（2）解法一：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0，（*）（6分）
由（1）可得S1=a1=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

由（*）式可得S3=

3

4

由此猜想：Sn=

n

n+1

（8分）
证明：①当n=1时，结论成立．
②假设当n=k时结论成立，
即Sk=

k

k+1

那么，由（*）得Sk+1=

1

2-Sk

∴Sk+1=

1

2-

k

k+1

=

k+1

k+2

所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，
Sn=

n

n+1

对所有正整数n都成立．（12分）
解法二：由题设S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1
代入上式，得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴Sn=

1

2-Sn-1

∴Sn-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

=

2-Sn

Sn-1-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴数列{

1

Sn-1

}是以

1

S1-1

=-2为首项，以-1为公差的等差数列，
∴

1

Sn-1

=-2+(-1)(n-1)=-n-1
∴Sn=1-

1

1+n

=

n

n+1

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：