已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n项和Sn满足Sn=f（Sn-1）（n＞1，且n∈N*）．（1）求an的表达式；（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为an，且ln与曲线y=x2相-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(

x

+

2

)2(x＞0)，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记dn=

1

4

|

Dn+1Dn

|-1，若Cn=

d

2n+1

+

d

2n

2dn+1dn

，求数列c_n的前n 项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由Sn=(

Sn-1

+

2

)2得：

Sn

-

Sn-1

=

2

，所以数列{

Sn

}是以

2

为公差的等差数列．
∴

Sn

=

2

n，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）
（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn

y=x2

?x2-anx-b n=0，
据题意方程有相等实根，
∴△=a_n²+4b_n=0，
∴bn=-

1

4

an2=-

1

4

(4n-2)2=-（2n-1）²，
当n∈N⁺时，dn=

1

4

|bn-bn+1|-1=

1

4

|-(2n-1)2+(2n+1)2|-1=2n-1，
∴Cn=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(4n2-1)

=

8n2+2

2(4n2-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=n+(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=n+1-

1

2n+1

=

2n2+3n

2n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：