设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，an+an+22≤an+1，恒成立；②对任意n∈N+，存在与n无关的常数M，使an≤M恒成立．（Ⅰ）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的-数学试题及答案

1、试题题目：设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①对任意n∈N⁺，

an+an+2

2

≤a_n+1，恒成立；②对任意n∈N⁺，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，且a₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，则

a1+2d=4

3a1+3d=18

，解得

a1=8

d=-2

，（2分）
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-n²+9n，
∴

Sn+Sn+2

2

-S_n+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)

2

=

an+2-an+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴得

Sn+Sn+2

2

＜S_n+1，适合条件①．（5分）
又S_n=-n²+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
∴所以当n=4或n=5时，S_n取得最大值20，即S_n≤20，适合条件②．（7分）
综上，{S_n}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵=5（n+1）-2ⁿ⁺¹-5n+=5-2ⁿ，
∴当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时数列{b_n}单调递减；（11分）
当n=1，2时，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，（12分）
因此数列{b_n}中的最大项是b₃=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范围是[7，+∞）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①对任意n∈N+，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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