发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-30 07:30:00
试题原文 |
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(I)解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ)×2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)×22=2λ3+23, a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)×23=3λ4+24. 由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n. 以下用数学归纳法证明. (1)当n=1时,a1=2,等式成立. (2)假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k, 那么,ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[(k+1)-1]λk+1+2k+1. 这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立. 解法二:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ>0,可得
所以{
所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n. (II)设Tn=λ2+2λ3+3λ4++(n-2)λn-1+(n-1)λn① λTn=λ3+2λ4+3λ5++(n-2)λn+(n-1)λn+1.② 当λ≠1时,①式减去②式,得(1-λ)Tn=λ2+λ3++λn-(n-1)λn+1=
这时数列{an}的前n项和Sn=
当λ=1时,Tn=
(III)证明:通过分析,推测数列{
由λ>0知an>0.要使③式成立,只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).因为(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+4)2n>4λ.(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n>2. 所以③式成立.因此,存在k=1,使得
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)”。