已知函数f(x)=x2-a(a+2)xx+1（a≥0）．（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2-a(a+2)xx+1（a≥0）．（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2-a(a+2)x

x+1

（a≥0）．
（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，f(x)=

x2-3x

x+1

，∴f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

，f（3）=0，
∴f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率f^′（3）=

3

4

，切点（3，0），
因此其切线方程为y=

3

4

(x-3)，即3x-4y-9=0．
（ II）x≠-1，f′(x)=

x2+2x-a(a+2)

(x+1)2

=

[x+(a+2)](x-a)

(x+1)2

，
①当a=0时，在（0，2]上导函数f′(x)=

x2+2x

(x+1)2

＞0，所以f（x）在[0，2]上递增，可得f（x）的最小值为f（0）=0；
②当0＜a＜2时，导函数f'（x）的符号如下表所示

x	[0，a）	a	（a，2]
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以f（x）的最小值为f(a)=

a2-a2(a+2)

a+1

=-a2；
③当a≥2时，在[0，2）上导函数f'（x）＜0，∴f（x）在[0，2]上递减，
∴f（x）的最小值为f(2)=

4-2a(a+2)

3

=-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

．
综上可知：①当a=0时，f（x）的最小值为f（0）=0；
②当0＜a＜2时，f（x）的最小值为f（a）=-a²；
③当a≥2时，f（x）的最小值为f（2）=-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2-a(a+2)xx+1（a≥0）．（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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