已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．
（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[0，2]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′（x）=

1

x-3

+a
（1）只要在x∈[0，2]上f'（x）≥0恒成立，?a≥

1

3-x

而

1

3-x

∈[

1

3

，1]，∴a≥1 （5分）
（2）∵当x∈[0，2]时，

1

x-3

∈[-1，-

1

3

]
∴①当a≤

1

3

时，f′（x）≤0，这时f（x）在[0，2]上单调递减，
f（x）≤f（0）=1+ln3（7分）
②当

1

3

＜a＜1时，令f′（x）=0，可解得x=3-

1

a

，
∵当x∈[0，3-

1

a

]时，有f′（x）＞0
当x∈[3-

1

a

，2]时，有f′（x）＜0，
∴x=3-

1

a

是f（x）在[0，2]上的唯一的极大值，
则f（x）≤f（3-

1

a

）=3a-lna （10分）
③当a≥1时，f'（x）≥0，这时f（x）在[0，2]上单调递增，
f（x）≤f（2）=2a+1 （12分）
综上所述：f(x)max=

1+ln3

3a-lna

2a+1

(a≤

1

3

)

(

1

3

＜a＜1)

(a≥1)

（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（3-x）+ax+1．（1）若函数f（x）在[0，2]上是单调递增函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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