已知函数f（x）=xx2+b，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设b＞0．若?x∈[14，34]，使f（x）≥1，求b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xx2+b，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设b＞0．若?x∈[

1

4

，

3

4

]，使f（x）≥1，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）①当b=0时，f（x）=

1

x

．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．
②当b＞0时，f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

．
令f′（x）=0，得x₁=

b

，x₂=-

b

．
f（x）和f′（x）的情况如下：

x

（-∞，-

b

）

-

b

（-

b

，

b

）

b

（

b

，+∞）

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

↘

↗

↘

故f（x）的单调减区间为（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；单调增区间为（-

b

，

b

）．
③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x∈R|x≠±

-b

}．
因为f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

＜0在D上恒成立，
故f（x）的单调减区间为（-∞，-

-b

），（-

-b

，

-b

），（

-b

，+∞）；无单调增区间．
（Ⅱ）因为b＞0，x∈[

1

4

，

3

4

]，
所以f（x）≥1等价于b≤-x²+x，其中x∈[

1

4

，

3

4

]．
设g（x）=-x²+x，g（x）在区间[

1

4

，

3

4

]上的最大值为g（

1

2

）=

1

4

．
则“?x∈[

1

4

，

3

4

]，使得b≤-x²+x”等价于b≤

1

4

．
所以b的取值范围是（0，

1

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xx2+b，其中b∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：