设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（Ⅰ）讨论函数h(x)=f(x)x的单调性；（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（Ⅲ）如果对任意的s，t∈[-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（Ⅰ）讨论函数h(x)=f(x)x的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数h(x)=

f(x)

x

的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

试题来源：天津模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）h(x)=

a

x2

+lnx，h′(x)=-

2a

x3

+

1

x

=

x2-2a

x3

，…（1分）
①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…（2分）
②a＞0，h′(x)≥0，x≥

2a

，函数h（x）的单调递增区间为(

2a

，+∞)，h′(x)≤0，0＜x≤

2a

，函数h（x）的单调递减区间为(0，

2a

)…（4分）
（Ⅱ）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，…（5分）
考察g（x）=x³-x²-3，g′(x)=3x(x-

2

3

)，…（6分）

x

0

(0，

2

3

)

2

3

(

2

3

，2)

2

g′（x）

0

-

0

+

g（x）

-3

递减

极（最）小值-

85

27

递增

1

…（8分）
由上表可知：g(x)min=g(

2

3

)=-

85

27

，g(x)max=g(2)=1，
∴[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，…（9分）
所以满足条件的最大整数M=4；…（10分）
（Ⅲ）当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，…（11分）
记h（x）=x-x²lnx，所以a≥h_max（x）
又h′（x）=1-2xlnx-x，则h′（1）=0．
记h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈[

1

2

，1)，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0
即函数h（x）=x-x²lnx在区间[

1

2

，1)上递增，
记h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈（1，2]，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0
即函数h（x）=x-x²lnx在区间（1，2]上递减，
∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…（13分）
∴a≥1…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（Ⅰ）讨论函数h(x)=f(x)x的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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