已知函数f(x)=13x3-mx2+32mx，(m＞0)．（1）当m=2时，①求函数y=f（x）的单调区间；②求函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程；（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-mx2+32mx，(m＞0)．（1）当m=2时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-mx2+

3

2

mx，(m＞0)．
（1）当m=2时，
①求函数y=f（x）的单调区间；
②求函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f(x)＜mx2+(

3

2

m-3m2)x+

32

3

恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当m=2时，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，则f'（x）=x²-4x+3，（1分）
①令f'（x）=x²-4x+3=0，解得x=1或x=3（2分）
函数的单调递增区间是：（-∞，1），（3，+∞）函数的单调递减区间是：（1，3）（4分）
②f'（0）=3，
∴函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程为y=3x．（6分）
（2）因为函数f（x）既有极大值，又有极小值，则f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有两个不同的根，
则有△=4m²-6m＞0，又m＞0，∴m＞

3

2

（8分）
令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x
g'（x）=x²-4mx+3m²=0?x=m，或x=3m，（10分）
∴g'（x）＞0?x＜m或x＞3m，g'（x）＜0?m＜x＜3m
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上为增函数，在（m，3m）上为减函数，（12分）
∴g(m)=

4

3

m3，g(3m)=0为g(x)的极值，又g(0)=0，g(4m)=

4

3

m3，
∴g（x）最大值为

4

3

m3，
∴

4

3

m3＜

32

3

?m＜2（13分）m的取值范围为

3

2

＜m＜2．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-mx2+32mx，(m＞0)．（1）当m=2时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：