已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1，当x=23时，函数f（x）有极大值427．（Ⅰ）求实数b、c的值；（Ⅱ）若存在x0∈[-1，2]，使得f（x0）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1，当x=23时，函数f（x）有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1

alnx，x≥1

，当x=

2

3

时，函数f（x）有极大值

4

27

．
（Ⅰ）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）x＜1时，f′（x）=-3x²+2x+b
∵当x=

2

3

时，函数f（x）有极大值

4

27

，
∴f′（

2

3

）=-

4

3

+

4

3

+b=0，f（

2

3

）=-

8

27

+

4

9

+c=

4

27

，
∴b=0，c=0；
（Ⅱ）存在x₀∈[-1，2]，使得f（x₀）≥3a-7成立，等价于x∈[-1，2]，使得f（x）_max≥3a-7成立
由（Ⅰ）知，f(x)=

-x3+x2，x＜1

alnx，x≥1

①-1≤x＜1时，f′（x）=-3x（x-

2

3

），函数在（-1，0）上单调递减，在（0，

2

3

）上单调递增，在（

2

3

，1）上单调递减
∵f（-1）=2，f（

2

3

）=

4

27

，∴-1≤x＜1时，f（x）_max=2，；
②2≥x≥1时，f′（x）=

a

x

，
1°、a＞0，函数在[1，2]上单调递增，f（x）_max=f（2）=aln2，
∴

aln2＞2

aln2≥3a-7

或

aln2≤2

2≥3a-7

，∴

2

ln2

＜a≤

7

3-ln2

或0＜a≤

2

ln2

；
2°、a≤0，函数在[1，2]上单调递减，f（x）_max=f（1）=aln1=0，
∴2≥3a-7，∴a≤3，∴a≤0
综上，实数a的取值范围是a≤

7

3-ln2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1，当x=23时，函数f（x）有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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