已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x|x²-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a≤0，∴x²-a≥0，∴f（x）=x（x²-a）=x³-ax，
∴f^′（x）=3x²-a，
∵f^′（x）≥0对x∈R成立，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）当a=3时，f（x）=x|x²-3|=

3x-x3，当-

3

＜x＜

3

x3-3x，当x≤-

3

或x≥

3

（i）当x＜-

3

，或x＞

3

时，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）＞0．
（ii）当-

3

＜x＜

3

时，f^′（x）=3-3x²=-3（x-1）（x+1）．
当-1＜x＜1时，f^′（x）＞0；
当-

3

＜x＜-1，或1＜x＜

3

时，f?（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-

3

]，[-1，1]，[

3

，+∞）；
f（x）的单调递减区间是[-

3

，-1]，[1，

3

]．（8分）
由区间的定义可知，b＞0．
①若0＜b≤1时，则[0，b]?[-1，1]，因此函数f（x）在[0，b]上是增函数，
∴当x=b时，f（x）有最大值f（b）=3b-b³．
②若1＜b≤

3

时，f（x）=3x-x³在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，并且该极大值就是函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．
∴当x=1时，f（x）有最大值2．
③若b＞

3

时，当x∈[0，

3

]时，f（x）=3x-x³在[0，1]上单调递增，在[1，

3

]上单调递减，
因此，在x=1时取到极大值f（1）=2，在x∈[

3

，b]时，f（x）=x³-3x在[

3

，b]上单调递增，
在x=b时，f（x）有最大值f（b）=b³-3b．
（i）当f（1）≥f（b），即2≥b³-3b，b³-b-2b-2≤0，b（b²-1）-2（b+1）≤0，（b+1）²（b-2）≤0，b≤2．
∴当

3

＜b≤2时，在x=1时，f（x）取到最大值f（1）=2．
（ii）当f（1）＜f（b），解得b＞2，
∴当b＞2时，f（x）在x=b时，取到最大值f（b）=b³-3b，
综上所述，函数y=f（x）在区间[0，b]上的最大值为y_max=

3b-b3，0＜b≤1

2，1＜b≤2，b3-3b，b＞2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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