设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a?M；（2）当a∈（0，14]时，求证：a∈M；（3）当a∈（14，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-18 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）当a∈（-∞，-2）时，求证：a?M；
（2）当a∈（0，

1

4

]时，求证：a∈M；
（3）当a∈（

1

4

，+∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．

试题来源：南通模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合的含义及表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）如果a＜-2，则|a₁|=|a|＞2，a?M．（2分）
（2）当0＜a≤

1

4

时，|an|≤

1

2

（?n≥1）．
事实上，〔i〕当n=1时，|a1|=|a|≤

1

2

．
设n=k-1时成立（k≥2为某整数），
则〔ii〕对n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(

1

2

)2+

1

4

=

1

2

．
由归纳假设，对任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．（6分）
（3）当a＞

1

4

时，a?M．证明如下：
对于任意n≥1，an＞a＞

1

4

，且a_n+1=a_n²+a．
对于任意n≥1，an+1-an=

a

2n

-an+a=(an-

1

2

)2+a-

1

4

≥a-

1

4

，
则an+1-an≥a-

1

4

．
所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．
当n＞

2-a

a-

1

4

时，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，
即a_n+1＞2，因此a?M．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足a1=a，an+1=an2+a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．（1）当a..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合的含义及表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合的含义及表示”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：