设Xn={1，2，3…n}(n∈N*)，对Xn的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的f（A）的和为Sn，则Sn=_____

1、试题题目：设Xn={1，2，3…n}(n∈N*)，对Xn的任意非空子集A，定义f（A）为A中的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-18 07:30:00

试题原文

设Xn={1，2，3…n}(n∈N*)，对X_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍X_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则S_n=______．

试题来源：许昌二模试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：集合的含义及表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子集含n，有2^n-2个子集不含n含n-1，有2^n-3子集不含n，n-1，含n-2…有2^k-1个子集不含n，n-1，n-2…k-1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴S_n=2^n-1×n+2^n-2×（n-1）+…+2¹×2+1
S_n=1+2¹×2+2²×3+2³×4+…2^n-1×n①
又2S_n=2+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2ⁿ×n…②错位相减，
∴①-②可得-S_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ×n
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1
∴S₃=（3-1）×2³+1=17．
故答案为：（n-1）2ⁿ+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设Xn={1，2，3…n}(n∈N*)，对Xn的任意非空子集A，定义f（A）为A中的..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合的含义及表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合的含义及表示”。

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