已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（1）记bn=an+1-an（n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）求{an}的通项公式；（3）当q∈（-3，--数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）记b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，求

lim

n→∞

An

2n

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）（2分）
又a₁=1，a₂=2，所以b₁=a₂-a₁=1，又q≠0．
所以{b_n}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）b_n=q^n-1（5分）
注：在证明中若从b_n=qb_n-1（n≥2）得出{b_n}是等比数列扣（1分）．
（2）由b_n=a_n+1-a_n及b_n=q^n-1得a_n+1-a_n=q^n-1（6分）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=q^n-2+q^n-3+…+q+1+（18分）
当q=1时a_n=n（9分）
当q≠1时an=

1-qn-1

1-q

+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=

1-qn-1

1-q

+1=

2-q

1-q

+

qn-1

q-1

An=

C

1n

a1+

C

2n

a2+…+

C

nn

an

=

2-q

1-q

(

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

)+

1

q-1

(

C

1n

q0+

C

2n

q1+…+

C

nn

qn-1)

=

2-q

1-q

(2n-1)+

1

q(q-1)

[(1+q)n-1]（13分）

An

2n

=

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2?-1＜

q+1

2

＜1
则

lim

n→∞

(

1+q

2

)n=0，又

lim

n→∞

1

2n

=0
所以

lim

n→∞

An

2n

=

lim

n→∞

{

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]}=

q-2

q-1

（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：