已知f（x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a1），f（a2），…，f（an），…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn=anf（an），且数列{bn}的前n项和为Sn-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a1），f（a2），…..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），…（n∈N）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=3时，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）lgf （a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：蓝山县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意f （a_n）=m²?m^n-1，即m^a_n=mⁿ⁺¹．
∴a_n=n+1，∴a_n+1-a_n=1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意b_n=a_nf （a_n）=（n+1）?mⁿ⁺¹，
当m=3时，b_n=（n+1）?3ⁿ⁺¹，∴S_n=2?3²+3?3³+4?3⁴+…+（n+1）?3ⁿ⁺¹…①，
①式两端同乘以3得，3S_n=2?3³+3?3⁴+4?3⁵+…+（n+1）?3ⁿ⁺²…②
②-①并整理得，
2S_n=-2?3²-3³-3⁴-3⁵-…-3ⁿ⁺¹+（n+1）?3ⁿ⁺²=-3²-（3²+3³+3⁴+3⁵+…+3ⁿ⁺¹）+（n+1）?3ⁿ⁺²=-32-

32(1-3n)

1-3

+（n+1）?3ⁿ⁺²=-9+

9

2

（1-3ⁿ）+（n+1）?3ⁿ⁺²=（n+

1

2

）3ⁿ⁺²-

9

2

．
∴S_n=

1

4

（2n+1）3ⁿ⁺²-

9

4

．
（3）由题意c_n=f （a_n）?lg f （a_n）=mⁿ⁺¹?lgmⁿ⁺¹=（n+1）?mⁿ⁺¹?lgm，
要使c_n≥c_n+1对一切n∈N*成立，即（n+1）?mⁿ⁺¹?lgm≥（n+2）?mⁿ⁺²?lgm，对一切n∈N^*成立，
当m＞1时，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤

n+1

n+2

对一切n∈N^*成立，
因为

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值为

2

3

，所以m≤

2

3

，与m＞1不符合，即此种情况不存在．
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥

n+1

n+2

对一切n∈N^*成立，所以

2

3

≤m＜1．
综上，当

2

3

≤m＜1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a1），f（a2），…..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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