设数列{an}前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-n(n-1)2，n∈N+．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）求证：若数列{an}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-n(n-1)2，n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}前n项和为S_n，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-

n(n-1)

2

，n∈N₊．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）求证：若数列{a_n}中存在三项构成等比数列，则x为有理数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由S_n=nan-

n(n-1)

2

（n∈N^*）得：S_n+1=nan+1-

n(n+1)

2

，
∴S_n+1-S_n=a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n，
∴a_n+1-a_n=1，又数列{a_n}首项为x，
则数列{a_n}是首项为x，公差为1的等差数列；
（2）若三个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k，
则（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik，
若i+k-2j=0，则j²-ik=0，
∴i=j=k与i＜j＜k矛盾，
则i+k-2j≠0，
∴x=

j 2-ik

i+k-2j

，且i，j，k都是非负数，
∴x是有理数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足Sn=nan-n(n-1)2，n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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