在数列{an}中，a1=1，an=an-1can-1+1（c为常数，n∈N*，n≥2），又a1，a2，a5成公比不为l的等比数列．（I）求证：{1an}为等差数列，并求c的值；（Ⅱ）设{bn}满足b1=23，bn=an-1an+1(n≥2-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an=an-1can-1+1（c为常数，n∈N*，n≥2），又a1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a1=1，an=

an-1

can-1+1

（c为常数，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列．
（I）求证：{

1

an

}为等差数列，并求c的值；
（Ⅱ）设{b_n}满足b1=

2

3

，bn=an-1an+1(n≥2，n∈N*)，证明：数列{b_n}的前n项和Sn＜

4

n

2

-n

4

n

2

-1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：若a_n=0，（n≥2）则，则a_n-1=0与a₁=1矛盾
∴a_n≠0
∵a1=1，an=

an-1

can-1+1

∴

1

an

=

1

an-1

+c
∴数列{

1

an

}是以c为公差，以

1

a1

=1为首项的等差数列
∴

1

an

=1+(n-1)c
∴an=

1

nc+1-c

∴a2=

1

1+c

，a3=

1

1+4c

∵又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列
∴a22=a₁a₅
即(

1

1+c

)2=

1

1+4c

解得c=0或c=2
当c=0时，a₁=a₂=a₅，故舍去
∴c=2
（II）∵an=

1

2n-1

∴b1=

2

3

，bn=

1

(2n-3)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-3

-

1

2n+1

)
当n=1时，S1=

2

3

当n≥2时，Sn=

2

3

+

1

4

（1-

1

5

+

1

3

-

1

7

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n-3

-

1

2n+1

）
=

2

3

+

1

4

（1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

n

4n2-1

=

4n2-n-1

4n2-1

＜

4n2-n

4n2-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an=an-1can-1+1（c为常数，n∈N*，n≥2），又a1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：