设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；（2）若直线AB的方向向量为n=(1，2)，当焦点为F(12，0)时，求△OAB的-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的方向向量为

n

=(1，2)，当焦点为F(

1

2

，0)时，求△OAB的面积；
（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

试题来源：宝山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₀，y₀），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意

x=

x0+1

2

y=

y0

2

，即

x0=2x-1

y0=2y

…2分
所求的轨迹方程为4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，F(

1

2

，0)，直线y=2(x-

1

2

)=2x-1，…5分
由

y2=2x

y=2x-1

得，y²-y-1=0，|AB|=

1+

1

k2

|y1-y2|=

5

2

…7分
d=

1

5

，…8分
S△OAB=

1

2

d|AB|=

5

4

…9分
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k₁、k₂、k₃．
点A、B、M的坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-

p

2

，m)．
设直线AB：y=k(x-

p

2

)，代入抛物线得y2-

2p

k

y-p2=0，…11分
所以y1y2=-p2，…12分
又y12=2px1，y22=2px2，
因而x1+

p

2

=

y12

2p

+

p

2

=

1

2p

(y12+p2)，x2+

p

2

=

y22

2p

+

p

2

=

p4

2py12

+

p

2

=

p

2y12

(y12+p2)
因而k1+k2=

y1-m

x1+

p

2

+

y2-m

x2+

p

2

=

2p2(y1-m)

p(y12+p2)

+

2y12(-

p2

y1

-m)

p(y12+p2)

=-

2m

p

…14分
而2k3=

0-m

p

2

-(-

p

2

)

=-

2m

p

，故k₁+k₂=2k₃．…16分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：