发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-04 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）证明：∵k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）． 因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，即c=2a1=2． 而且当n≥2时，由an+Sn=2 可得①an-1+Sn-1=2，②，把①-②可得 2an-an-1=0（n∈N，n≥2）． 若an=0，则an-1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0(n∈N*)． 故数列{an}是首项为1，公比为
（2）（i） 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． （ii） 若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），则 当n≥2时，由an+Sn=bn+c ③，可得an-1+Sn-1=b（n-1）+c．④ ③-④得 2an-an-1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b-d（常数）， 而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*）， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1． （iii） 若k=2，设f2(n)=an2+bn+c（a≠0，a，b，c是常数）， 当n≥2时，由 an+Sn=an2+bn+c ⑤，可得 an-1+Sn-1=a(n-1)2+b(n-1)+c ⑥， ⑤-⑥得 2an-an-1=2an+b-a（n∈N，n≥2）． 要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2an+b-a-d，且d=2a， 考虑到a1=1，所以an=1+（n-1）?2a=2an-2a+1（n∈N*）． 故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2an-2a+1（n∈N*）， 此时f2(n)=an2+(a+1)n+1-2a（a为非零常数）． （iv） 当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设fk(n)=c0+c1n+c2n2+…+cknk(k∈N)，其中c0，c1，c2，…，ck为非零..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。