已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．（I）证明：数列{an-12n}为等差数列；（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．（I）证明：数列{..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N^*）．
（I）证明：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：∵a₁=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N^*）
∴an-1=2(an-1-1)+2n
∴

an-1

2n

=

2(an-1-1)+2n

2n

∴

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1
∵

a1-1

2

=2
∴数列{

an-1

2n

}是以2为首项，以1为公差的等差数列
（II）由（I）可得，

an-1

2n

=2+（n-1）=n+1
∴a_n-1=（n+1）?2ⁿ
∴S_n=2?2¹+3?2²+…+（n+1）?2ⁿ
2S_n=2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）?2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)?2n+1
=4+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）?2ⁿ⁺¹
∴Sn=n?2n+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*）．（I）证明：数列{..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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