（已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-l（n≥2且n∈N*．）（I）证明：数列{an-12n}为等差数列：（II）求数列{an-1}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：（已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-l（n≥2且n∈N*．）（I）证明：数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

（已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-l（n≥2且n∈N^*．）
（I）证明：数列{

an-1

2n

}为等差数列：
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设b_n=

an-1

2n

，则b₁=

5-1

2

=2…2分，
b_n+1-b_n=

an+1-1

2n+1

-

an-1

2n

=

1

2n+1

[（2ⁿ⁺¹-1）+1]=1…4分
∴数列{

an-1

2n

}为首项是2，公差是1的等差数列…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

an-1

2n

=

a1-1

2

+（n-1）×1，
∴a_n-1=（n+1）?2ⁿ…7分
∵S_n=2?2¹+3?2²+…+n?2^n-1+（n+1）?2ⁿ①
∴2S_n=2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹②…9分
①-②，得：-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）?2ⁿ⁺¹
∴S_n=-4-4（2^n-1-1）+（n+1）?2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n?2ⁿ⁺¹…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-l（n≥2且n∈N*．）（I）证明：数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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