已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l₁垂直于x轴，动点P在l₁上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l₂是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l₂的距离最短时，求直线l₂的方程．

试题来源：广州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-2）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP?k_OQ=-1．
当x≠0时，得

y

x

?

-2

x

=-1，化简得x²=2y．（2分）
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x²=2y（x≠0）．（4分）
（2）∵直线l₂与曲线C相切，∴直线l₂的斜率存在．
设直线l₂的方程为y=kx+b，（5分）
由

y=kx+b

x2=2y

得x²-2kx-2b=0．
∵直线l₂与曲线C相切，
∴△=4k²+8b=0，即b=-

k2

2

．（6分）
点（0，2）到直线l₂的距离d=

|-2+b|

k

2

+1

=

1

2

?

k

2

+4

k

2

+1

（7分）=

1

2

(

k

2

+1

+

3

k

2

+1

)（8分）≥

1

2

×2

k

2

+1

?

3

k

2

+1

（9分）=

3

．（10分）
当且仅当

k

2

+1

=

3

k

2

+1

，即k=±

2

时，等号成立．此时b=-1．（12分）
∴直线l₂的方程为

2

x-y-1=0或

2

x+y+1=0．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：