已知圆O：x2+y2=49，直线l：y=kx+m与椭圆C：x22+y2=1相交于P、Q两点，O为原点．（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；（Ⅱ）如图，若△POQ重-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆O：x2+y2=49，直线l：y=kx+m与椭圆C：x22+y2=1相交于P、Q两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知圆O：x2+y2=

4

9

，直线l：y=kx+m与椭圆C：

x2

2

+y2=1相交于P、Q两点，O为原点．
（Ⅰ）若直线l过椭圆C的左焦点，且与圆O交于A、B两点，且∠AOB=60°，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若△POQ重心恰好在圆上，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）左焦点坐标为F（-1，0），设直线l的方程为y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圆心O到直线l的距离d=

1

3

，
又d=

|k|

k2+1

，
∴

|k|

k2+1

=

1

3

，解得k=±

2

．
∴直线l的方程为y=±

2

（x+1）．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2

2

+y2=1

y=kx+m

得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0得：1+2k²＞m²…（?），且x₁+x₂=-

4km

1+2k2

．
∵△POQ重心恰好在圆x²+y²=

4

9

上，
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4，
即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4，即（1+k²）(x1+x2)2+4km（x₁+x₂）+4m²=4．
∴

16(1+k2)k2m2

(1+2k2)2

-

16k2m2

1+2k2

+4m²=4，化简得：m²=

(1+2k2)2

4k2+1

，代入（?）式得：k≠0，
又m²=

(1+2k2)2

4k2+1

=1+

4k4

4k2+1

=1+

4

k2

+

1

k4

．
∵k≠0，
∴m²＞1，
∴m＞1或m＜-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆O：x2+y2=49，直线l：y=kx+m与椭圆C：x22+y2=1相交于P、Q两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：