已知：z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx?Re(.z1?z2)且f（0）=2，f(π3)=12+32，（1）求z2；（2）求函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间；（3）若α-β≠Kπ，K∈z，-数学试题及答案

1、试题题目：已知：z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-09 07:30:00

试题原文

已知：z₁=2cosx+isinx，z₂=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx?Re(

.

z1

?z2)
且f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，
（1）求z₂；
（2）求函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间；
（3）若α-β≠Kπ，K∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵z₁=2cosx+isinx，z₂=a+bi，a、b∈R，∴(

.

z1

?z2)=（2cosx-isinx）（a+bi）=（2acosx+bsinx）+（2bcosx-asinx）i，
故 Re(

.

z

1?z2)=2acosx+bsinx，
∴f（x）=cosx?（2acosx+bsinx）=2acos²x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+

1

2

bsin2x，
∵

f(0)=2a=2

f(

π

3

)=

1

2

a+

3

4

b=

1

2

+

3

2

，∴

a=1

b=2

，∴z₂=1+2i．
（2）由以上可得 f(x)=1+cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得
kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z．
再由x∈（-π，π）可得 -π＜x≤-

7π

8

、或-

3π

8

≤x≤

π

8

、或

5π

8

≤x＜π，
∴函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间为：（-π，-

7π

8

]、[-

3π

8

，

π

8

]、[

5π

8

，π）．
（3）由f（α）=f（β）可得 sin(2α+

π

4

)=sin(2β+

π

4

)，
故2α+

π

4

=2kπ+2β+

π

4

或2α+

π

4

=2kπ+π-(2β+

π

4

)，k∈Z，
可得 α-β=kπ或α+β=kπ+

π

4

，k∈Z，
∵已知 α-β≠Kπ，得到 α+β=kπ+

π

4

，k∈Z，
故有 tan(α+β)=tan(kπ+

π

4

)=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：