已知椭圆：x25+y2=1中，F1、F2分科技别为左、右焦点，过F2作椭圆的弦AB．（1）求证：1|F2A|+1|F2B|为定值；（2）求△F1AB面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆：x25+y2=1中，F1、F2分科技别为左、右焦点，过F2作椭圆的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆：

x2

5

+y2=1中，F₁、F₂分科技别为左、右焦点，过F₂作椭圆的弦AB．
（1）求证：

1

|F2A|

+

1

|F2B|

为定值；
（2）求△F₁AB面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵a²=5，b²=1
∴F₁（-2，0），F₂（2，0）
若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）
由

y=k(x-2)

x2

5

+y2=1

?(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：x1+x2=

20k2

5k2+1

．x1?x2=

5(4k2-1)

5k2+1

∵|F2A|=a-ex=

5

-

2

5

x1，|F2B|=

5

-

2

5

x2
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

2

5

-

2

5

(x1+x2)

5-2(x1+x2)+

4

5

x1x2

=2

5

为定值．
当AB⊥x轴时，

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=2

5

也成立．
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=定值．
（2）设AB倾斜角为θ
|AB|=|F2A|+|F2B|=2

5

-

2

5

(x1+x2)=

2

5

(1+k2)

5k2+1

=

2

5

cos2θ+5sin2θ

设F₁到AB距离为d．则d=2?csinθ=4sinθ．
∴S△F1AB=

4

5

sinθ

cos2θ+5sin2θ

=

4

5

sinθ

1+4sin2θ

．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴S△F1AB=

4

5

1

sinθ

+4sinθ

≤

5

．
当且仅当sinθ=

1

2

，即θ=30°或150°，△F₁AB面积的最大值为

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆：x25+y2=1中，F1、F2分科技别为左、右焦点，过F2作椭圆的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：