已知点P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F1，F2是椭圆的两个焦点，|OP|=102，PF1?PF2=12（点O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知点P是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，|OP|=

10

2

，

PF1

?

PF2

=

1

2

（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

试题来源：鹰潭一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）由|OP|=

10

2

，得x02+y02=

5

2

，…（1分）
由

PF1

?

PF2

=

1

2

得(-c-x0，-y0)?(c-x0，-y0)=

1

2

，即x02+y02-c2=

1

2

…（2分）
所以c=

2

，又因为短轴长为2，所以b=1，所以离心率e=

c

a

=

6

3

，…（4分）
椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1；…（6分）
（Ⅱ）解法一：由

y=x

x2

3

+y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，设直线MN的方程为y=kx+m，
联立方程组

y=kx+m

x2

3

+y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

…（8分）
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

．

因为

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），所以x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

…（9分）
所以|MN|=

1+(-

1

3

)2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10

?

4-3m2

2

…（10分）
又因为λ＞0，原点O到直线MN的距离为d=

3

10

m

10

所以S△OMN=

1

2

|MN|d=

10

?

4-3m2

4

?

3

10

m

10

S△OMN=

1

2

|MN|d=

10

?

4-3m2

4

?

3

10

m

10

=

3

?

(4-3m2)3m2

4

≤

3

2

，
当m=

6

3

，即λ=

2

时等号成立，S_△OMN的最大值为

3

2

…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：